Teori Portofolio Modern dan Batasnya

Posisi modul. Level 2 mengajarkan menilai satu aset. Level 3 mengajarkan menyusun kumpulan aset. Modul ini adalah pintu masuknya, dan ia memiliki bentuk yang sama dengan modul-modul terbaik di Level 2: ajarkan kerangkanya dengan benar dan lengkap, lalu ukur di mana ia patah.

Teori Portofolio Modern (MPT) adalah salah satu gagasan paling berpengaruh dalam keuangan. Ia juga adalah kerangka yang, bila diterapkan secara harfiah dengan data yang benar-benar tersedia bagi seorang pengelola, menghasilkan portofolio yang lebih buruk daripada membagi rata. Kedua pernyataan itu benar, dan modul ini menunjukkan mengapa keduanya dapat benar sekaligus.

              TEORI PORTOFOLIO MODERN (Markowitz 1952)
                              │
        ┌─────────────────────┴─────────────────────┐
        │  GAGASAN INTI YANG BERTAHAN               │
        │  risiko portofolio ≠ rata-rata risiko     │
        │  aset; korelasi <1 menciptakan manfaat    │
        └─────────────────────┬─────────────────────┘
                              │
      ┌───────────────┬───────┴───────┬───────────────┐
      │               │               │               │
  MEKANIKA        BATAS EFISIEN   TANGENSI &      CAPM & BETA
  μ_p = Σw μ      himpunan por-   GARIS PASAR     risiko sistematis
  σ²_p = ΣΣ w w σ tofolio efisien MODAL           vs idiosinkratik
      │               │               │               │
      └───────────────┴───────┬───────┴───────────────┘
                              │
        ┌─────────────────────┴─────────────────────┐
        │        TIGA TITIK PATAH YANG TERUKUR      │
        └─────────────────────┬─────────────────────┘
                              │
   ┌──────────────┬───────────┼───────────┬──────────────┐
   │              │           │           │              │
 1. GALAT      2. KORELASI  3. VARIANS  ► AKIBATNYA
   ESTIMASI      TIDAK        BUKAN
   μ_B ±100bps   STABIL       RISIKO      1/N mengalahkan
   → w_B ±44 pp  4,99pp →     VaR99,9     optimasi long-only
   butuh 207 thn 0,56 pp      1,64×       dgn Sharpe +31,5%
   data          manfaat      lebih besar
                 hilang 89%   dari normal
                              │
                              ▼
              APA YANG BERTAHAN, APA YANG DIBUANG
         bertahan: diversifikasi, berpikir kovarians,
                   kerangka risiko-imbalan
         dibuang : bobot presisi dari optimasi tak terkekang

4.1 Gagasan inti, dinyatakan setepat mungkin

Sebelum 1952, risiko portofolio umumnya dipahami sebagai gabungan risiko aset-asetnya. Markowitz menunjukkan bahwa pemahaman itu keliru, dan menunjukkannya dengan satu persamaan.

Imbal hasil harapan portofolio bersifat linear:

\[\mu_p = \sum_{i=1}^{n} w_i \mu_i\]

Varians portofolio tidak:

\[\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij} = \sum_{i=1}^{n} w_i^2\sigma_i^2 + \sum_{i \neq j} w_i w_j \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\]

Asimetri antara kedua persamaan itu adalah seluruh isi MPT. Imbal hasil dirata-ratakan; risiko tidak. Selama \(\rho_{ij} < 1\), suku silang lebih kecil daripada bila aset bergerak serentak, dan risiko portofolio berada di bawah rata-rata tertimbang risiko aset-asetnya.

Selisih itu adalah manfaat diversifikasi. Ia bukan pendapat; ia konsekuensi aljabar.

Untuk dua aset, persamaannya menjadi:

\[\sigma_p^2 = w^2\sigma_A^2 + (1-w)^2\sigma_B^2 + 2w(1-w)\rho\sigma_A\sigma_B\]

Bobot varians minimum diperoleh dengan menurunkan terhadap \(w\) dan menyamakan dengan nol:

\[w_A^* = \frac{\sigma_B^2 - \rho\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\rho\sigma_A\sigma_B}\]

Contoh 1 menghitung persamaan ini pada enam nilai korelasi, dan hasilnya menunjukkan sesuatu yang sering mengejutkan: pada \(\rho = -1\), risiko portofolio dapat dibuat nol. Itu bukan trik; itu yang dijanjikan aljabar ketika dua aset bergerak berlawanan secara sempurna. Bahwa hal itu tidak pernah terjadi di pasar nyata adalah persoalan §4.6, bukan persoalan teorinya.

4.2 Batas efisien, tangensi, dan garis pasar modal

Batas efisien adalah himpunan portofolio yang, untuk setiap tingkat risiko, memberikan imbal hasil harapan tertinggi. Portofolio di bawah batas itu didominasi: ada portofolio lain dengan risiko sama dan imbal hasil lebih tinggi, sehingga tidak ada alasan rasional memegangnya.

Ketika aset bebas risiko dengan imbal hasil \(r_f\) tersedia, gambarnya berubah. Portofolio terbaik yang dapat dibentuk dari aset berisiko adalah yang memaksimalkan rasio Sharpe:

\[S = \frac{\mu_p - r_f}{\sigma_p}\]

Portofolio itu disebut portofolio tangensi. Untuk kasus umum:

\[\mathbf{w}_{\text{tangensi}} \propto \Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} - r_f\mathbf{1})\]

Seluruh portofolio efisien kemudian berupa kombinasi kas dan portofolio tangensi, membentuk garis pasar modal:

\[\mu_p = r_f + \left(\frac{\mu_T - r_f}{\sigma_T}\right)\sigma_p\]

Teorema pemisahan dua dana menyatakan bahwa setiap investor memegang portofolio berisiko yang sama — yaitu tangensi — dan hanya berbeda dalam berapa banyak kas yang dicampurkan. Toleransi risiko menentukan campurannya, bukan isinya.

Perhatikan notasi \(\Sigma^{-1}\) pada rumus tangensi. Inversi matriks kovarians adalah tempat seluruh masalah modul ini bermula, dan §4.5 menunjukkan mengapa.

4.3 CAPM dan beta

Bila semua investor memegang portofolio tangensi, maka dalam keseimbangan portofolio itu haruslah portofolio pasar. Dari situ diturunkan:

\[\mathbb{E}[R_i] = r_f + \beta_i(\mathbb{E}[R_m] - r_f) \qquad \text{dengan} \qquad \beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\sigma_m^2}\]

Sumbangan konseptual CAPM yang paling tahan lama bukan rumusnya, melainkan pemisahan yang dibuatnya:

Implikasinya tegas dan berlaku terlepas dari apakah CAPM benar secara empiris: menanggung risiko yang dapat Anda hilangkan secara cuma-cuma tidak dibayar oleh siapa pun. Portofolio terkonsentrasi pada satu instrumen menanggung banyak risiko idiosinkratik tanpa imbalan harapan yang menyertainya.

Batas empiris CAPM harus dinyatakan bersama teorinya:

• Beta yang diukur tidak stabil antarperiode
• Hubungan empiris antara beta dan imbal hasil jauh lebih lemah daripada yang diprediksi, dan pada beberapa periode berlawanan arah
• Beberapa karakteristik — ukuran perusahaan, valuasi relatif, momentum, profitabilitas — secara historis memuat informasi yang tidak tertangkap beta (dibahas penuh di L3I.2 Investasi Berbasis Faktor)
• “Portofolio pasar” yang sesungguhnya tidak dapat diamati; setiap proksi yang dipakai adalah pilihan yang memengaruhi hasil

4.4 Batas pertama: galat estimasi, dan mengapa ia fatal

MPT memerlukan tiga masukan: \(\boldsymbol{\mu}\), \(\boldsymbol{\sigma}\), dan \(\boldsymbol{\rho}\). Ketiganya harus diestimasi. Masalahnya terletak hampir seluruhnya pada \(\boldsymbol{\mu}\).

4.4.1 Seberapa buruk estimasi imbal hasil harapan

Galat baku rata-rata sampel:

\[SE(\hat{\mu}) = \frac{\sigma}{\sqrt{T}}\]

Untuk aset dengan volatilitas tahunan 22% — tipikal saham:

Bacalah baris pertama itu dengan hati-hati. Dengan sepuluh tahun data, selang keyakinan 95% untuk imbal hasil harapan sebuah saham memiliki lebar sekitar \(\pm 13{,}6\) pp. Itu lebih lebar daripada seluruh premi risiko ekuitas yang hendak diestimasi.

Untuk membedakan aset dengan \(\mu = 14\%\) dari aset dengan \(\mu = 11\%\) — selisih 3 pp — pada volatilitas 22%, dibutuhkan:

\[T > \left(\frac{1{,}96 \times 0{,}22}{0{,}03}\right)^2 = \mathbf{207\ \text{tahun}}\]

Dua ratus tujuh tahun data — dengan asumsi, yang jelas keliru, bahwa sifat aset itu tidak berubah selama dua abad.

Volatilitas dan korelasi jauh lebih mudah diestimasi daripada rata-rata, karena keduanya dapat diperkirakan dari data frekuensi tinggi sementara rata-rata tidak. Inilah sebabnya optimasi varians-minimum (yang tidak memerlukan \(\boldsymbol{\mu}\) sama sekali) berperilaku jauh lebih baik daripada optimasi rata-rata-varians penuh.

4.4.2 Seberapa besar akibatnya pada bobot

Galat estimasi tidak akan menjadi masalah besar bila bobot optimal tidak peka terhadapnya. Ia sangat peka.

Untuk portofolio tiga aset (rincian di Contoh 2), bobot tangensi dasar adalah 36,81% / 28,65% / 34,55%. Sekarang ubah satu masukan:

Baris terakhir adalah inti persoalannya. Perubahan 100 bps pada estimasi imbal hasil harapan aset B — perubahan yang jauh lebih kecil daripada galat baku estimasinya sendiri (2,85 pp untuk aset dengan volatilitas 9% atas 10 tahun) — mengubah bobot optimal dari +28,65% menjadi −15,73% — pergeseran 44,38 pp, yaitu dari posisi beli yang besar menjadi posisi jual.

Optimasi memperlakukan selisih yang tidak dapat dibedakan dari derau sebagai informasi, lalu mengambil posisi besar berdasarkan derau itu. Inilah yang di literatur disebut “error maximizer”: optimasi mencari aset yang imbal hasilnya paling dilebihkan oleh galat estimasi, dan menumpukkan bobot padanya.

K-10 — jika kedengarannya terlalu bagus untuk jadi kenyataan, biasanya memang begitu. Batas efisien yang dihitung dari data historis selalu tampak indah. Ia indah karena ia dipasangkan pada derau di dalam data itu.

4.5 Uji yang menentukan: optimasi versus membagi rata

Argumen §4.4 bersifat teoretis. Uji berikut bersifat empiris, dan hasilnya lebih tegas.

Rancangan. Lima aset dengan sifat sejati yang diketahui (karena disimulasikan). Setiap percobaan: estimasi \(\boldsymbol{\mu}\) dan \(\Sigma\) dari 10 tahun data, bentuk portofolio, lalu ukur kinerjanya pada 10 tahun berikutnya yang belum pernah dilihat. Ulangi 600 kali. Bandingkan tiga pendekatan.

Hasil keluar-sampel:

Tiga temuan, berurutan menurut kepentingannya.

Pertama: optimasi tanpa batas runtuh total. Volatilitas 214% bukan salah cetak. Ketika matriks kovarians yang diestimasi hampir singular — yang sering terjadi dengan sampel pendek — inversinya menghasilkan bobot ekstrem. Pada 28,8% percobaan, bobot mutlak terbesar melampaui 2,0, artinya posisi berungkit atau jual kosong yang besar, yang muncul sepenuhnya dari derau estimasi.

Kedua: batasan membantu banyak. Melarang jual kosong menaikkan Sharpe dari 0,0068 menjadi 0,3120. Batasan tidak memperbaiki estimasi; ia hanya mencegah optimasi bertindak berdasarkan estimasi yang buruk. Inilah alasan sebenarnya praktisi mengekang optimasi — bukan karena aturan mandat, melainkan karena tanpa kekangan, hasilnya tidak dapat dipakai.

Ketiga, dan paling penting: membagi rata tetap menang. Sharpe 1/N sebesar 0,4102 31,5% lebih tinggi daripada optimasi long-only. Portofolio yang tidak mengestimasi apa pun mengalahkan portofolio yang berusaha mengestimasi segalanya.

Mengapa demikian? 1/N tidak memiliki galat estimasi karena ia tidak mengestimasi apa pun. Optimasi memiliki keunggulan teoretis — ia akan menang bila masukannya benar — tetapi keunggulan itu lebih kecil daripada kerugian yang ditimbulkan galat estimasinya. Pertukaran itu hanya berbalik ketika data jauh lebih panjang atau jumlah aset jauh lebih sedikit daripada yang tersedia bagi pengelola mana pun.

Temuan ini bukan hasil tunggal dari satu simulasi; ia konsisten dengan hasil yang berulang kali dilaporkan dalam literatur akademik sejak pertengahan 2000-an.

Yang tidak boleh disimpulkan. Hasil ini bukan berarti “portofolio sama rata adalah portofolio terbaik”. Ia berarti: optimasi rata-rata-varians yang diterapkan secara harfiah pada estimasi sampel bukan perbaikan atas pembagian rata, dan karenanya harus dimodifikasi berat atau ditinggalkan. Pendekatan yang bertahan di praktik — paritas risiko, penyusutan estimasi, Black-Litterman, kekangan bobot yang ketat — seluruhnya adalah cara mengurangi ketergantungan pada \(\hat{\boldsymbol{\mu}}\). Semuanya dibahas di L3.2 dan L3I.1.

4.6 Batas kedua: korelasi tidak stabil

MPT memperlakukan \(\rho\) sebagai tetapan. Ia bukan tetapan, dan cara ia berubah adalah cara yang paling merugikan.

Untuk portofolio lima aset dengan bobot sama rata dan volatilitas 20% / 17% / 14% / 11% / 8%:

Volatilitas portofolio naik 4,44 pp — sebesar 49,3% secara relatif — dari rezim tenang ke rezim krisis, tanpa satu pun volatilitas aset berubah. Seluruh kenaikan berasal dari korelasi.

Dan manfaat diversifikasi runtuh dari 4,99 pp menjadi 0,56 pp: 89% manfaatnya lenyap tepat pada saat ia paling dibutuhkan.

K-08 — korelasi tidak stabil, dan ia paling tidak stabil justru ketika Anda paling membutuhkannya. Portofolio yang tampak terdiversifikasi dalam data lima tahun terakhir dapat berperilaku seperti satu posisi tunggal pada minggu ketika hal itu menentukan.

Tiga implikasi praktis:

1. Uji portofolio Anda pada korelasi tertekan, bukan korelasi rata-rata. Hitung ulang volatilitas dengan \(\bar{\rho} = 0{,}90\) dan tanyakan apakah Anda dapat menanggungnya. Itu angka yang relevan, bukan yang pertama.
2. Diversifikasi lintas kelas aset yang mekanismenya berbeda lebih tahan daripada diversifikasi lintas banyak instrumen dalam satu kelas. Dua puluh saham dari satu bursa berkorelasi tinggi pada saat tertekan; saham dan obligasi pemerintah jangka panjang tidak selalu demikian — meski hubungan itu pun berubah antarrezim.
3. Likuiditas dan korelasi memburuk bersamaan. Ketika korelasi melonjak, spread melebar dan kedalaman buku order menipis. Anda menghadapi kerugian yang lebih berkorelasi dan biaya keluar yang lebih tinggi pada saat yang sama (K-09).

4.7 Batas ketiga: varians bukan risiko

MPT mengukur risiko sebagai varians. Itu pilihan, bukan kebenaran, dan pilihan itu memuat tiga asumsi yang tidak bertahan.

Asumsi pertama: kenaikan dan penurunan sama buruknya. Varians menghukum imbal hasil +30% persis seperti −30%. Tidak ada investor yang berpikir begitu. Ukuran alternatif — semivarians, deviasi bawah, drawdown maksimum — hanya menghitung sisi yang benar-benar merugikan. Ini dibahas penuh di L3.3.

Asumsi kedua: distribusi cukup dijelaskan oleh dua momen pertama. Imbal hasil pasar memiliki ekor lebih gemuk daripada distribusi normal. Akibatnya dapat dihitung.

Untuk portofolio dengan volatilitas 9,01%:

Perhatikan polanya: pada 95% asumsi normal justru terlalu konservatif, tetapi semakin jauh ke ekor, semakin besar ia meremehkan kerugian. Pada tingkat 99,9% — kejadian “sekali dalam seribu periode”, yang dalam data harian berarti beberapa kali dalam satu karier — kerugian sebenarnya diperkirakan 1,64 kali lebih besar daripada yang diprediksi model normal.

Inilah kerugian yang menghancurkan portofolio, dan justru inilah yang paling diremehkan oleh varians.

Asumsi ketiga: parameter stabil sepanjang waktu. Volatilitas berkelompok; rezim berganti; hubungan antaraset bergeser. Parameter tunggal untuk seluruh periode adalah penyederhanaan yang nyaman, bukan deskripsi.

K-05 — berpikir dalam distribusi. Varians adalah satu ringkasan distribusi. Ia bukan distribusinya.

4.8 Apa yang bertahan

Modul ini telah membongkar banyak hal. Yang berikut ini adalah bagian yang tetap berdiri, dan yang harus dibawa peserta ke modul-modul berikutnya.

Sikap yang direkomendasikan modul ini dapat dirumuskan dalam satu kalimat:

Gunakan MPT untuk memahami mengapa diversifikasi bekerja; jangan gunakan keluarannya sebagai bobot portofolio Anda.

Bagaimana membangun portofolio yang benar-benar dapat dipakai — dengan penyusutan estimasi, paritas risiko, kekangan, dan kerangka Black-Litterman — adalah isi L3.2 Alokasi Strategis dan Taktis dan L3I.1 Konstruksi Portofolio Multi-Aset.

Contoh 1 — Portofolio dua aset dan peran korelasi

Aset A: \(\mu = 14\%\), \(\sigma = 22\%\) · Aset B: \(\mu = 7\%\), \(\sigma = 9\%\) · \(r_f = 5{,}5\%\)

Langkah 1 — bobot varians minimum pada berbagai korelasi.

\[w_A^* = \frac{\sigma_B^2 - \rho\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\rho\sigma_A\sigma_B}\]

Bacaan. Pada \(\rho = \pm 1\), risiko dapat dihilangkan sepenuhnya — tetapi hanya pada \(\rho = -1\) hal itu dilakukan dengan bobot positif pada keduanya dan imbal hasil 9,03%. Pada \(\rho = +1\) diperlukan jual kosong aset A. Semakin rendah korelasi, semakin besar bobot yang layak diberikan pada aset berisiko tinggi tanpa menaikkan risiko portofolio.

Langkah 2 — portofolio 60/40 pada \(\rho = 0{,}2\).

\[\mu_p = 0{,}6(14\%) + 0{,}4(7\%) = 8{,}4\% + 2{,}8\% = \mathbf{11{,}20\%}\]

Varians, suku demi suku:

\[w_A^2\sigma_A^2 = 0{,}36 \times 0{,}0484 = 0{,}017424\] \[w_B^2\sigma_B^2 = 0{,}16 \times 0{,}0081 = 0{,}001296\] \[2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B = 2(0{,}6)(0{,}4)(0{,}2)(0{,}22)(0{,}09) = 0{,}001901\] \[\sigma_p^2 = 0{,}020621 \quad \Rightarrow \quad \sigma_p = \mathbf{14{,}36\%}\]

Langkah 3 — ukur manfaat diversifikasi.

Rata-rata tertimbang volatilitas \(= 0{,}6(22\%) + 0{,}4(9\%) = \mathbf{16{,}80\%}\)

\[\text{Manfaat} = 16{,}80\% - 14{,}36\% = \mathbf{2{,}44\ \text{pp}}\]

Perhatikan bahwa suku silang menyumbang hanya 0,001901 dari total varians 0,020621 — sekitar 9,2%. Korelasi rendah bekerja dengan membuat suku silang kecil.

Langkah 4 — rasio Sharpe.

\[S_{60/40} = \frac{11{,}20\% - 5{,}5\%}{14{,}36\%} = \mathbf{0{,}3969}\] \[S_A = \frac{14\% - 5{,}5\%}{22\%} = 0{,}3864 \qquad S_B = \frac{7\% - 5{,}5\%}{9\%} = 0{,}1667\]

Portofolio campuran memiliki Sharpe lebih tinggi daripada kedua asetnya sendiri. Ini bukan kebetulan; ini yang dimaksud manfaat diversifikasi.

Langkah 5 — portofolio tangensi.

\[w_A^{T} = \frac{(\mu_A - r_f)\sigma_B^2 - (\mu_B - r_f)\sigma_{AB}}{(\mu_A - r_f)\sigma_B^2 + (\mu_B - r_f)\sigma_A^2 - (\mu_A - r_f + \mu_B - r_f)\sigma_{AB}}\]

dengan \(\sigma_{AB} = 0{,}2(0{,}22)(0{,}09) = 0{,}003960\):

\[w_A^T = \mathbf{61{,}77\%} \qquad w_B^T = \mathbf{38{,}23\%}\] \[\mu_T = \mathbf{11{,}32\%} \qquad \sigma_T = \mathbf{14{,}67\%} \qquad S_T = \mathbf{0{,}3970}\]

Langkah 6 — bandingkan dengan Langkah 4. Portofolio tangensi “optimal” (61,77/38,23) memberi Sharpe 0,3970; portofolio 60/40 yang dipilih sembarang memberi 0,3969. Selisihnya 0,0001.

Ini pelajaran yang akan berulang sepanjang modul: di sekitar puncaknya, permukaan Sharpe hampir datar. Ketepatan bobot sampai desimal kedua memperjuangkan sesuatu yang tidak ada, sementara galat estimasi pada masukannya berukuran ribuan kali lebih besar.

Contoh 2 — Seberapa peka bobot optimal terhadap estimasi

Tiga aset:

Korelasi: \(\rho_{AB} = 0{,}20\) · \(\rho_{AC} = 0{,}55\) · \(\rho_{BC} = 0{,}15\) · \(r_f = 5{,}5\%\)

Langkah 1 — bobot tangensi dasar. Dengan \(\mathbf{w} \propto \Sigma^{-1}(\boldsymbol{\mu} - r_f\mathbf{1})\):

\[w_A = 36{,}81\% \qquad w_B = 28{,}65\% \qquad w_C = 34{,}55\%\]

Langkah 2 — ubah \(\mu_A\) saja.

Setiap 100 bps pada \(\mu_A\) menggeser \(w_A\) sebesar 9,22 pp.

Langkah 3 — ubah \(\mu_B\) saja.

Langkah 4 — bandingkan dengan galat estimasinya.

Aset B memiliki \(\sigma = 9\%\). Dengan 10 tahun data:

\[SE(\hat{\mu}_B) = \frac{0{,}09}{\sqrt{10}} = \mathbf{2{,}85\ \text{pp}}\]

Perubahan 100 bps yang menggeser bobot sebesar 44,38 pp berada jauh di dalam galat baku estimasinya — hanya 0,35 galat baku. Artinya: dua analis yang menggunakan data sepuluh tahun yang sama-sama sah dapat memperoleh estimasi \(\mu_B\) yang berbeda 100 bps semata karena kebetulan sampel, lalu menghasilkan portofolio yang satu memegang B sebesar 28,65% dan yang lain menjualnya kosong 15,73%.

Langkah 5 — berapa data yang sebenarnya dibutuhkan. Untuk membedakan \(\mu = 14\%\) dari \(\mu = 11\%\) pada \(\sigma = 22\%\):

\[T > \left(\frac{1{,}96 \times 0{,}22}{0{,}03}\right)^2 = (14{,}3733)^2 = \mathbf{207\ \text{tahun}}\]

Langkah 6 — kesimpulan. Optimasi rata-rata-varians memerlukan masukan yang tidak dapat diestimasi dengan ketepatan yang dibutuhkannya, dan keluarannya sangat peka terhadap ketidaktepatan itu. Kombinasi kedua sifat ini, bukan salah satunya sendiri, yang membuat penerapan harfiahnya tidak dapat dipertahankan.

Contoh 3 — Optimasi versus membagi rata, keluar-sampel

Langkah 1 — rancangan. Lima aset dengan sifat sejati yang diketahui (imbal hasil harapan 11%/6,5%/9,5%/8,5%/7,5%, volatilitas 20%/8%/17%/14%/11%, korelasi rata-rata 0,25). Setiap percobaan: estimasi dari 10 tahun, bentuk portofolio, ukur pada 10 tahun berikutnya. 600 percobaan.

Perhatikan bahwa rancangan ini memberi keuntungan besar kepada optimasi: sifat sejati benar-benar stabil sepanjang waktu, tidak ada perubahan rezim, dan distribusinya normal. Di pasar nyata, tidak satu pun dari ketiga syarat ini berlaku.

Langkah 2 — hasil.

Langkah 3 — periksa mengapa optimasi tanpa batas runtuh.

• Bobot mutlak terbesar: median 1,12, rata-rata 3,0
• Persentase percobaan dengan \(|w| > 2\): 28,8%

Median 1,12 tampak wajar; rata-rata 3,0 tidak. Selisih antara keduanya menunjukkan sebaran yang sangat miring: sebagian besar percobaan menghasilkan bobot yang masuk akal, tetapi hampir tiga dari sepuluh menghasilkan posisi berungkit atau jual kosong besar yang lahir sepenuhnya dari derau estimasi. Percobaan-percobaan itulah yang menghancurkan rata-rata kinerjanya.

Langkah 4 — ukur nilai kekangan.

\[\frac{0{,}3120 - 0{,}0068}{0{,}0068} = 44{,}9\times\]

Melarang jual kosong menaikkan Sharpe hampir 45 kali lipat. Kekangan tidak memperbaiki estimasi; ia membatasi kerusakan yang dapat ditimbulkan estimasi buruk.

Langkah 5 — ukur keunggulan 1/N.

\[\frac{0{,}4102 - 0{,}3120}{0{,}3120} = \mathbf{+31{,}5\%}\]

Portofolio yang tidak mengestimasi apa pun mengalahkan portofolio yang mengestimasi segalanya, sebesar 31,5% dalam Sharpe, pada rancangan yang justru menguntungkan optimasi.

Langkah 6 — apa yang ini artinya dan tidak artinya.

Artinya: keunggulan teoretis optimasi lebih kecil daripada kerugian yang ditimbulkan galat estimasinya, pada panjang data yang tersedia bagi pengelola mana pun.

Tidak artinya: 1/N adalah portofolio terbaik. 1/N memiliki masalahnya sendiri — ia mengabaikan perbedaan risiko antaraset sepenuhnya, sehingga aset paling bergejolak mendominasi risiko portofolio. Contoh 4 menunjukkan akibatnya, dan L3.2 memperkenalkan paritas risiko sebagai jawaban yang lebih baik daripada keduanya.

Contoh 4 — Runtuhnya diversifikasi ketika korelasi naik

Portofolio lima aset, bobot sama rata (20% masing-masing), volatilitas 20% / 17% / 14% / 11% / 8%.

Langkah 1 — rumus untuk bobot sama rata dan korelasi seragam.

\[\sigma_p^2 = \sum_i w_i^2\sigma_i^2 + \bar{\rho}\sum_{i \neq j} w_iw_j\sigma_i\sigma_j\]

Langkah 2 — hitung pada empat rezim.

Rata-rata tertimbang volatilitas \(= 0{,}2(20+17+14+11+8)\% = \mathbf{14{,}00\%}\) — inilah volatilitas portofolio bila seluruh aset bergerak serentak.

Langkah 3 — ukur kerusakannya.

\[\text{Kenaikan volatilitas} = 13{,}44\% - 9{,}01\% = \mathbf{4{,}44\ \text{pp}} \quad (+49{,}3\%\ \text{relatif})\] \[\text{Manfaat yang lenyap} = \frac{4{,}99 - 0{,}56}{4{,}99} = \mathbf{88{,}8\%}\]

Tidak satu pun volatilitas aset berubah. Seluruh kerusakan berasal dari korelasi.

Langkah 4 — terjemahkan ke rupiah. Portofolio Rp5.000.000.000, kerugian 2σ dalam satu tahun:

Selisih Rp443.000.000 — pada portofolio yang sama, dengan aset yang sama, pada bobot yang sama.

Langkah 5 — implikasi perencanaan. Angka yang relevan untuk perencanaan bukan 9,01% melainkan 13,44%. Pertanyaan yang harus dijawab bukan “berapa volatilitas portofolio saya?” melainkan “berapa volatilitas portofolio saya pada saat saya paling membutuhkannya rendah?”

Langkah 6 — apa yang dapat dilakukan. Tiga hal, menurut urutan efektivitasnya:

1. Ukuran posisi yang ditetapkan menggunakan korelasi tertekan, bukan korelasi rata-rata
2. Diversifikasi lintas mekanisme — aset yang sumber imbal hasilnya benar-benar berbeda — bukan lintas nama
3. Cadangan likuiditas yang tidak perlu dijual pada saat tertekan (K-09)

Yang tidak membantu: menambah lebih banyak instrumen dari kelas yang sama. Pada \(\bar{\rho} = 0{,}90\), aset ke-20 menyumbang manfaat yang hampir nol.

Bagian A — Portofolio dua aset

Pilih dua aset dari kelas yang berbeda. Perkirakan \(\mu\), \(\sigma\), dan \(\rho\) dari data yang sumbernya Anda cantumkan.

• Aset 1: \(\mu\) = ____ · \(\sigma\) = ____ · Sumber: ____
• Aset 2: \(\mu\) = ____ · \(\sigma\) = ____ · Sumber: ____
• \(\rho\) = ____ · Periode: ____ s.d. ____

• Bobot varians minimum = ____ · \(\sigma_{\min}\) = ____
• Rata-rata tertimbang \(\sigma\) pada 50/50 = ____ · Manfaat diversifikasi = ____ pp

Bagian B — Uji sensitivitas (wajib)

Ubah \(\mu_1\) sebesar ±100 bps dan ±200 bps. Hitung ulang bobot tangensi.

• \(SE(\hat{\mu}_1) = \sigma_1/\sqrt{T}\) dengan \(T\) = ____ tahun → SE = ____ pp
• Pergeseran 100 bps setara ____ galat baku
• Pertanyaan yang harus dijawab tertulis: apakah Anda dapat membedakan \(\mu_1\) dari \(\mu_1 \pm 100\) bps dengan data yang Anda miliki? ☐ Ya ☐ Tidak
• Jika Tidak, apa artinya bagi bobot yang Anda hitung? ____

Bagian C — Uji rezim korelasi

Hitung ulang \(\sigma_p\) portofolio Anda pada \(\bar{\rho}\) = 0,25 / 0,45 / 0,75 / 0,90.

• Manfaat yang lenyap dari 0,25 ke 0,90: ____%
• Kerugian 2σ pada rezim krisis, dalam rupiah: ____
• Dapatkah saya menanggung angka terakhir itu? ☐ Ya ☐ Tidak → jika Tidak, apa yang saya ubah: ____

Bagian D — Bandingkan dengan 1/N

• Sharpe portofolio optimasi saya (dalam-sampel): ____
• Sharpe portofolio 1/N atas aset yang sama (dalam-sampel): ____
• Selisihnya: ____
• Berdasarkan §4.5, berapa besar selisih ini yang saya harapkan bertahan keluar-sampel? ____
• Pendirian saya: ____

Bagian E — Pernyataan pendirian

Tulis maksimal 400 kata: peran apa yang MPT mainkan dalam praktik Anda, dan mengapa. Wajib memuat sedikitnya tiga angka dari lembar kerja Anda sendiri. Dokumen ini menjadi lampiran Pernyataan Kebijakan Investasi pada Proyek Mandat Level 3.

Butir disusun mengikuti urutan materi §4 agar dapat dipakai per sesi, bukan menaik menurut tingkat kognitif. Setiap butir diberi label kognitif, sehingga fasilitator dapat menyusun kuis pendek menurut bagian §4 yang sedang diajarkan, menurut tingkat kognitif, atau keduanya.

Sebaran modul ini: C1 Mengingat 6 · C2 Memahami 3 · C3 Menerapkan 7 · C4 Menganalisis 8 · C5 Mengevaluasi 1.

1. Tuliskan rumus imbal hasil harapan dan varians portofolio \(n\) aset. (C1) (Kunci: \(\mu_p = \sum w_i\mu_i\); \(\sigma_p^2 = \sum\sum w_iw_j\sigma_{ij}\))
2. Mengapa imbal hasil portofolio bersifat linear sedangkan risikonya tidak? (C2) (Kunci: imbal hasil adalah jumlah tertimbang; varians memuat suku silang \(2w_iw_j\rho\sigma_i\sigma_j\) yang bergantung korelasi)
3. Tuliskan rumus bobot varians minimum dua aset. (C1) (Kunci: \(w_A^* = (\sigma_B^2 - \rho\sigma_A\sigma_B)/(\sigma_A^2+\sigma_B^2-2\rho\sigma_A\sigma_B)\))
4. Hitung \(\mu_p\) untuk 60/40 dengan \(\mu_A = 14\%\), \(\mu_B = 7\%\). (C3) (Kunci: 8,4% + 2,8% = 11,20%)
5. Hitung ketiga suku varians untuk 60/40 dengan \(\sigma_A = 22\%\), \(\sigma_B = 9\%\), \(\rho = 0{,}2\). (C3) (Kunci: 0,017424; 0,001296; 0,001901)
6. Dari soal 5, hitung \(\sigma_p\). (C3) (Kunci: \(\sqrt{0{,}020621} = 14{,}36\%\))
7. Hitung manfaat diversifikasi pada soal 6. (C3) (Kunci: rata-rata tertimbang 16,80% − 14,36% = 2,44 pp)
8. Hitung Sharpe portofolio 60/40 dan kedua asetnya (\(r_f = 5{,}5\%\)). Apa yang ditunjukkan? (C4) (Kunci: 0,3969 vs A 0,3864 dan B 0,1667; campuran mengalahkan kedua komponennya)
9. Portofolio tangensi memberi Sharpe 0,3970, portofolio 60/40 memberi 0,3969. Apa pelajarannya? (C4) (Kunci: permukaan Sharpe hampir datar di sekitar puncak; ketepatan bobot memperjuangkan sesuatu yang jauh lebih kecil daripada galat estimasi masukannya)
10. Apa yang dinyatakan teorema pemisahan dua dana? (C1) (Kunci: semua investor memegang portofolio berisiko yang sama — tangensi — dan hanya berbeda dalam proporsi kas; toleransi risiko menentukan campuran, bukan isi)
11. Tuliskan persamaan CAPM dan definisi beta. (C1) (Kunci: \(\mathbb{E}[R_i] = r_f + \beta_i(\mathbb{E}[R_m]-r_f)\); \(\beta_i = \text{Cov}(R_i,R_m)/\sigma_m^2\))
12. Jenis risiko mana yang dikompensasi pasar, dan apa implikasinya? (C4) (Kunci: hanya risiko sistematis; menanggung risiko idiosinkratik yang dapat didiversifikasi tidak dibayar siapa pun)
13. Sebutkan empat batas empiris CAPM. (C1) (Kunci: beta tidak stabil; hubungan empiris beta–imbal hasil lemah atau berlawanan; faktor lain memuat informasi tambahan; portofolio pasar tidak dapat diamati)
14. Hitung \(SE(\hat{\mu})\) untuk \(\sigma = 22\%\) dengan 10 dan 30 tahun data. (C3) (Kunci: 6,96 pp dan 4,02 pp)
15. Berapa tahun data dibutuhkan untuk membedakan \(\mu = 14\%\) dari 11% pada \(\sigma = 22\%\)? (C3) (Kunci: \((1{,}96 \times 0{,}22/0{,}03)^2 = 207\) tahun)
16. Bobot tangensi dasar 36,81/28,65/34,55. Bila \(\mu_B\) turun 100 bps, \(w_B\) menjadi −15,73%. Berapa pergeserannya dan mengapa ini penting? (C4) (Kunci: −44,38 pp; perubahan jauh di dalam galat baku estimasi (2,85 pp) membalik posisi dari beli besar ke jual kosong)
17. Mengapa optimasi rata-rata-varians disebut “error maximizer”? (C2) (Kunci: ia menumpuk bobot pada aset yang imbal hasilnya paling dilebihkan oleh galat estimasi)
18. Mengapa \(\sigma\) dan \(\rho\) lebih mudah diestimasi daripada \(\mu\)? (C2) (Kunci: keduanya dapat diperkirakan dari data frekuensi tinggi; rata-rata tidak — ketepatannya hanya bertambah dengan panjang periode)
19. Sebutkan Sharpe keluar-sampel ketiga pendekatan pada §4.5. (C1) (Kunci: tanpa batas 0,0068; long-only 0,3120; 1/N 0,4102)
20. Berapa kali lipat kekangan long-only menaikkan Sharpe, dan apa yang sebenarnya dilakukan kekangan itu? (C4) (Kunci: 44,9×; ia tidak memperbaiki estimasi, hanya membatasi kerusakan yang dapat ditimbulkan estimasi buruk)
21. Berapa persen 1/N mengungguli optimasi long-only, dan mengapa? (C4) (Kunci: +31,5%; 1/N tidak memiliki galat estimasi karena tidak mengestimasi apa pun)
22. Apa yang tidak boleh disimpulkan dari soal 21? (C5) (Kunci: bahwa 1/N adalah portofolio terbaik; ia mengabaikan perbedaan risiko antaraset sehingga aset paling bergejolak mendominasi risiko)
23. Portofolio 5 aset sama rata, \(\sigma\) = 20/17/14/11/8%. Hitung \(\sigma_p\) pada \(\bar{\rho}\) = 0,25 dan 0,90. (C3) (Kunci: 9,01% dan 13,44%)
24. Dari soal 23, berapa persen manfaat diversifikasi yang lenyap, dan apa yang berubah? (C4) (Kunci: (4,99−0,56)/4,99 = 88,8%; tidak satu pun volatilitas aset berubah — seluruhnya dari korelasi)
25. VaR 99,9% di bawah normal adalah −27,84%, di bawah \(t(4)\) adalah −45,70%. Apa polanya dan mengapa penting? (C4) (Kunci: rasio 1,64×; asumsi normal semakin meremehkan kerugian semakin jauh ke ekor — dan justru kerugian ekor yang menghancurkan portofolio)

Ambang lulus: rata-rata ≥ 3,0 dan D4 ≥ 2 dan D5 ≥ 2.

D4 (perlakuan risiko) dan D5 (disiplin proses) bersifat menggugurkan: nilai 1 pada salah satunya membuat tugas harus diulang, berapa pun nilai dimensi lain.

Catatan penilai. Peserta yang menyimpulkan “MPT tidak berguna, jadi saya akan memakai 1/N saja” dinilai 2 pada D3, bukan 4. Modul ini menolak penerapan harfiah MPT, bukan gagasan intinya — dan 1/N memiliki cacat yang dinyatakan eksplisit di §4.5 dan Contoh 3 Langkah 6.

Alokasi waktu (18 JP)

Urutan yang disarankan

Ajarkan MPT dengan sungguh-sungguh pada Sesi 1–3, tanpa menyinggung keberatan apa pun. Peserta harus memahami dan mengagumi kerangka ini sebelum melihat di mana ia patah. Kritik yang datang sebelum pemahaman menghasilkan peserta yang menolak sesuatu yang tidak mereka kuasai — hasil yang lebih buruk daripada peserta yang menerimanya tanpa kritik.

Sesi 4 adalah titik balik modul. Jalankan Contoh 2 secara langsung: ubah satu masukan 100 bps di depan kelas dan biarkan bobot −15,73% muncul. Diamkan sejenak sebelum menjelaskan.

Momen pengajaran kunci

Angka 207 tahun harus ditulis di papan dan dibiarkan di sana sepanjang modul. Ia menjawab lebih banyak pertanyaan peserta daripada penjelasan apa pun.

Contoh 1 Langkah 6 sering terlewat, padahal ia penting. Selisih Sharpe 0,0001 antara portofolio “optimal” dan portofolio 60/40 sembarang adalah pengantar terbaik menuju Sesi 4: bila keuntungan optimasi sekecil itu dan galat estimasinya sebesar itu, pertukarannya jelas.

Peserta yang datang dari latar belakang kuantitatif akan paling sulit menerima §4.5. Bagi mereka, optimasi adalah jawaban yang benar secara matematis. Kerangkakan ulang: optimasi memang jawaban yang benar — untuk masalah yang masukannya diketahui. Masalah yang dihadapi pengelola bukan masalah itu.

Kesalahan umum peserta

Aturan keras bagi fasilitator

1. Dilarang menyajikan batas efisien historis sebagai rekomendasi alokasi. Setiap penyajiannya wajib disertai uji sensitivitas dan galat baku estimasi masukannya.
2. Dilarang menyebutkan instrumen, produk, atau kelas aset tertentu sebagai layak dibeli, dan dilarang memberikan proyeksi imbal hasil untuk instrumen nyata.
3. Dilarang menyatakan bahwa suatu alokasi “optimal” tanpa menyebut masukan yang mendasarinya dan lebar galatnya.
4. Dilarang menerima imbalan, komisi, atau biaya rujukan dari manajer investasi, penyedia produk, platform, atau penerbit indeks yang produknya disinggung di kelas. Kepentingan finansial apa pun wajib diungkapkan di awal sesi.
5. Dilarang menggunakan kinerja historis produk nyata sebagai bahan ajar tanpa menyatakan periode, sumber, dan keterbatasan pemilihan sampel.
6. Wajib menyampaikan bahwa diversifikasi mengurangi risiko tetapi tidak menghilangkannya, dan bahwa manfaatnya paling kecil justru pada saat pasar paling tertekan.

Materi ini disusun untuk tujuan pendidikan dan peningkatan literasi keuangan. Materi ini bukan nasihat investasi, bukan rekomendasi untuk membeli, menjual, atau menahan instrumen keuangan apa pun, dan bukan ajakan untuk melakukan transaksi.

Seluruh angka imbal hasil harapan, volatilitas, korelasi, dan hasil simulasi dalam modul ini bersifat ilustratif atau berasal dari data simulasi yang dihasilkan untuk keperluan pengajaran. Angka-angka tersebut tidak mewakili kinerja aset, kelas aset, atau produk investasi nyata mana pun, dan tidak boleh digunakan sebagai dasar pengambilan keputusan investasi.

Hasil simulasi pada §4.5 dan Contoh 3 berasal dari rancangan tertentu dengan asumsi yang dinyatakan eksplisit. Hasil tersebut menggambarkan sifat umum galat estimasi dan tidak boleh diperlakukan sebagai prediksi kinerja pendekatan mana pun pada pasar nyata.

Diversifikasi mengurangi risiko tertentu tetapi tidak menghilangkan risiko kerugian, dan sebagaimana ditunjukkan pada §4.6, manfaatnya berkurang tajam pada periode tekanan pasar.

Kinerja masa lalu tidak menjamin hasil di masa depan. Investasi mengandung risiko kerugian, termasuk kehilangan seluruh modal yang ditempatkan.

Invesmentpedia dan fasilitatornya tidak memberikan nasihat investasi yang dipersonalisasi dan tidak berizin sebagai penasihat investasi. Untuk kebutuhan nasihat yang disesuaikan dengan keadaan pribadi Anda, hubungi pihak yang memiliki izin dari otoritas yang berwenang.

Keputusan investasi sepenuhnya menjadi tanggung jawab masing-masing peserta.

Modul L3.1 — Kurikulum Invesmentpedia · Level 3 Pengelola Portofolio dan Sistem